Що ми називаємо «самим великим числом»?

Питання здається простим, та варто одразу уточнити: «найбільше» може означати різне. Іноді мають на увазі найбільше число, яке люди вже назвали й описали. Інші цікавляться, чи існує абсолютна межа для чисел. Тому спершу з’ясуймо, що ми шукаємо, а потім розглянемо приклади та способи запису гігантських величин.

Чи існує реальне найбільше число?

У математиці відповідь чітка: ні. Для будь-якого натурального n можна взяти n + 1, отже послідовність нескінченна. Та людина прагне осягнути навіть недосяжне, тому з’явилися символи та назви для надвеликих чисел, що допомагають вирішувати конкретні задачі.

Найбільші числа з іменами

• Гугол – 10¹⁰⁰. Цифра «1» та сто нулів. Більше, ніж кількість протонів у спостережуваному Всесвіті.
• Гуголплекс – 10^гугол. Записати повністю на папері неможливо: знадобилося б більше атомів, ніж існує у Всесвіті.
• Число Грема – з’явилося у теорії графів. Його не можна записати у звичайній чи навіть експоненціальній формі; використовують стрілкову нотацію Кнута. Попри фантастичний розмір, воно звичайне скінченне число.

Нескінченність не є числом

Часто задають уточнення: «А як же нескінченність?» Нескінченність – це ідеальне поняття «без межі», ім’я для процесу, що ніколи не завершується. Вона не підкоряється тим самим правилам, що кінцеві числа, і порівнювати «гугол» з нескінченністю так само беззмістовно, як порівнювати довжину стола з поняттям «простір».

Для чого потрібні такі велетенські числа?

• Комбінаторика та теорія графів: підрахунок можливих конфігурацій графів приводить до величезних оцінок, серед яких з’явилося число Грема.
• Криптографія: кількість можливих ключів, скажімо, у 256-бітному алгоритмі – це 2²⁵⁶, приблизно 1,16·10⁷⁷.
• Космологія: оцінка кількості можливих квантових станів всесвіту в підрахунках Пенроуза сягає 10¹⁰¹²³.

Як записують надзвичайно великі числа

Коли нулів стає більше, ніж рядків у книжці, математики переходять на скорочені записи.

• Експоненційний запис: 10¹⁰⁰ замість 1 000 … 000.
• Стрілкова нотація Кнута: a↑↑b означає вежу степенів висоти b. Наприклад 3↑↑3 = 3³³ = 3²⁷.
• Функція Акермана та тетраціїя

Приклад 1: скільки різних шахових партій можливі?

За грубими оцінками Шеннона, це близько 10¹²⁰ різних партій – майже втричі більше, ніж протонів у Всесвіті, хоча це ще й «маленьке» число порівняно з гуголплексом.

Приклад 2: кількість різних ДНК-ланцюгів довжиною 1000 пар основ

Кожна позиція може містити A, C, G або T, тож маємо 4¹⁰⁰⁰ ≈ 1,34·10⁶⁰² можливостей. Це число перевищує гугол на 502 порядки, показуючи, як навіть реальні біологічні задачі швидко виходять за межі нашої інтуїції.

Отже, конкретної «стелі» у світі чисел немає. Ми придумуємо назви й нотації, щоб працювати з новими величинами, коли стоїмо перед задачею, котра перевищує попередні межі. Сьогодні рекорд серед популяризованих – число Грема, але ніщо не заважає завтрашньому досліднику ввести ще більшу величину, якщо того вимагатиме математика чи фізика.